Lieu d'un milieu

Dans un repère ,une parabole d'équation y=x^2 et le point A (0,1) sont donnés.
Une droite d de coefficient directeur m (variable) passe par A et coupe la parabole en M et N.
Objectif: Trouver le lieu du milieu I de [MN] lorsque m décrit l'ensemble des réels.
Fais varier m avec le curseur pour "voir".
Il faut maintenant démontrer ce que tu as vu
1) Etablis d'abord que les points M et N existent , quel que soit la valeur de m.
Pour cela tu démontreras que les abscisses de M et N sont solutions de l'équation x² -mx -1=0 .
2)En notant x1 l'abscisse de M et x2 celle de N , exprime les coordonnées du milieu I
en fonction de x1 , x2 et m dans un premier temps;puis en fonction de m seulement.
3) Tu en déduiras facilement que I appartient à une parabole.
4) Réciproquement, il reste à répondre à la question suivante:
"Le point I décrit -il la parabole toute entière ?
Il suffit pour cela d'établir que x(I) prend toutes les valeurs réelles (on dit qu'il "décrit" R ) lorsque m décrit R.

Guy Marion, octobre 2005, Créé avec GeoGebra