Barycentre: Relation fondamentale

1)Fais d'abord varier les coefficients a et b et vérifie que le point G est barycentre du système {(A,a) (B,b)}
en observant les coordonnées de la somme vectorielle a*vect(GA) +b*vect(GB).
2)a et b étant fixés , déplace maintenant le point M et compare
la somme a/(a+b) vect(MA) +b/(a+b)vect(MB) à vect(MG).
Il te reste à établir que l' égalité que tu viens d'observer équivaut à :
a*vect(GA) + b*vect(GB) = vect(0) (1)
C'est très simple , il te suffit , à l'aide de la relation de Chasles ,de décomposer vect(GA) et vect(GB) afin d'insérer un point M quelconque.
La relation que tu viens de démontrer qui caractérise le barycentre sera appelée relation fondamentale.

Place toi maintenant dans le cas où les coefficients a et b sont égaux ;que valent alors a/(a+b)? b/(a+b) ? retrouve , grâce à la relation fondamentale une propriété vectorielle caractèrisant le milieu d'un segment.
Choisis M= A ; tu pourras ainsi exprimer vect(AG) en fonction de vect(AB).
En plaçant M au centre O du repère , tu pourras exprimer les coordonnées de G en fonction de celles de A et B ; complète la phrase:

les coordonnées du barycentre sont les ............ .............des coordonnées de A et B affectés des coefficients a et b

La définition du barycentre se généralise à un système de n points pondérés où n est un entier naturel supérieur ou égal à2

Théorème
n étant un entier supérieur ou égal à 2 , A1,A2,…,An des points de l'espace et a1,a2,…,an des réels tels que ∑ai≠0.
Il existe un unique point G tel que
∑ai*vect(GAi)=vect(0)

Définition
n étant un réel non nul, A1,A2,…,An des points de l'espace et a1,a2,…,an des réels tels que ∑ai≠0.
Notons G le point tel que ∑ai*vect(GAi)=vect(0)
G est appelé barycentre du système de points pondérés {(Ai,ai)} 1≤i≤n.

Théorème
G est barycentre du système de points pondérés {(Ai,ai)} si et seulement si :
Pour tout point M de l'espace,
∑ai*vect(MAi)=(∑ai)*vect(MG).

G.Marion tous droits réservés, juin 2005, Créé avec GeoGebra