Suites arithmético-géométriques

Cet applet permet de faire varier les réels a et b d' une suite arithmético-géométrique donnée par la relation de récurrence
suivante u(n+1) = a*u(n) +b ;le premier terme u(0)étant donné.La partie gauche de la feuille de travail montre une construction géomètrique des termes de la suite , la partie droite est la représentation graphique de la suite.

1)Tout d' abord, choisis a=1 Quelle type de suite obtient-on alors ? Exprime u(n) en fonction de n et justifie l'allure de la représentation graphique.
Le comportement asymptotique est simple. On remarque facilement que si b>0, alors la suite diverge vers +l'infini, et que si b<0, alors la suite diverge vers . Graphiquement, la droite y=x+b est parallèle à la droite y=x, et on a ou bien un escalier montant, ou un escalier descendant.

2)Maintenant , choisis b=0 (et a non nul). Quelle type de suite obtient- on ? Exprime u(n) en fonction de n.Fais varier a et observe les différents types de graphique.C'est plus varié que dans le cas précédent !!

Etudie le comportement à l'infini. tu distingueras 4 cas:

a>1: alors la suite ....... vers plus ou moins l'infini suivant le signe de .....

a=1 : alors on dit que la suite stationne au premier terme

|a|< -1 : alors la suite ............ vers 0

a est inférieur ou égal à -1 :la suite diverge mais plus l'infini ou moins l'infini ne sont pas limite de la suite

Observe la construction géomètrique :

Pour a>1, on observe un escalier qui va à l'infini.
Pour |a|<1, on a un escalier convergeant vers O (O est un point fixe attractif)
Pour a<-1, on a un colimaçon qui s'agrandit en tournant autour de O (O est un point fixe répulsif)

3)Si a est différent de 1 et b non nul , la suite est ni arithmétique ni géomètrique mais , si l'on peut dire , un 'mélange ' des deux.
Tu peux maintenant faire varier a et b à ta guise et observer ....

choisis par exemple u(0) =2 , a= 0.8 et b =0.4 .Qu'observes- tu? Justifie en calculant u(1)

G.Marion ; tous droits reservés ; mai 2005, Créé avec GeoGebra