24 avril 2007

 

Vérité et Mathématiques

Einstein et Gödel


Pendant de nombreux siècles, les mathématiques ont incarné le domaine de la vérité par excellence et on s'est plu à opposer leurs certitudes inébranlables aux discussions interminables des philosophes. En effet, depuis les "éléments" d'Euclide qui est le premier à avoir réellement formalisé la géométrie, les mathématiciens se sont efforcés de construire leurs théories en respectant des règles de logiques et de déductions admises par tous, leur conférant par là-même un statut de vérité absolue. Les mathématiques apportent la preuve de ce qu'elles avancent et la solution d'un problème est toujours unique et définitive (même si elle peut-être complexe) alors que les philosophes semblent s'opposer en débats sans fin sur tout problème abordé.(confere J.F.S. , lycée Jean Moulin)

Les mathématiques représentaient ainsi jusqu'au 19ème siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle. Pourtant, Euclide avait laissé avec son 5ème postulat * le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries non-euclidiennes et la fin de cette belle certitude absolue des mathématiques.

Cette crise des mathématiques atteindra son paroxysme lorsque le mathématicien Gödel énoncera son fameux théorème d'incomplétude qui détruira tous les espoirs de pouvoir formaliser un jour entièrement les mathématiques. Ce théorème affirme que tout système formel consistant est incomplet, c'est-à-dire qu'il possède toujours des propositions indécidables dont on ne pourra jamais dire à l'intérieur de ce même système si elles sont vraies ou fausses, et par suite, qu'on ne peut pas démontrer la consistance d'un système formel sans faire appel à système extérieur.

La vérité en mathématiques n'est donc plus unique, absolue et totale mais relative et incomplète.


* "Et si une droite tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits."

Ce cinquième et dernier postulat est le plus célèbre de tous les Éléments d'Euclide, si bien qu'il est souvent appelé « le postulat d'Euclide ». Cependant, son énoncé exact est la plupart du temps inconnu par ceux qui citent ce postulat, aussi dit " postulat des parallèles" . Le postulat « par un point extérieur à une droite donnée, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle » – qu'Euclide n'a jamais écrit – n'est qu'une conséquence du vrai cinquième postulat énoncé ci-dessus.

P.S.

Pour plus de clarté , s'adresser bien sûr à J.F.S. (lycée Jean Moulin Angers)

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