Spirale d'or

Dans un rectangle d'or ABCD de côtés 1 et phi=(1+rac(5))/2 , on construit le carré AA1A2D
où A1 et A2 appartiennent respectivement aux côtés [AB] et [CD].
Démontre que le rectangle A1BCA2 obtenu est encore un rectangle d'or.
On peut alors recommencer autant de fois que l'on veut le processus de construction.
On trace ensuite le quart de cercle de centre A1 et de rayon A1A puis le quart de cercle de centre A3 et de rayon A3A2 et ainsi de suite ...
On obtient ainsi la spirale d'or.

Cette spirale est une 'fausse' spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car la condition de tangence est respectée. . Cette courbe est connue sous le nom de 'spirale logarithmique'. Elle s'enfonce sans fin et tend rapidement vers un point Z autour duquel elle s'enroule de plus en plus près. Ce point est appelé le centre de la spirale. Appelée spirale de Bernoulli, elle a de nombreuses propriétés. L'une d'elles est que le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

Guy Marion, 11/06/05, Créé avec GéoGebra