02 mars 2010

 

" Dieu n'existe pas et Dirac est son prophète ." (Heisenberg)

Jacques Vauthier, professeur à l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), auteur de plusieurs ouvrages, aborde dans cette interview les implications philosophiques des mathématiques, le théorème de Gödel, mais aussi l'apport des mathématiques au dialogue entre les civilisations.

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15 janvier 2010

 

L'extraordinaire aventure du chiffre 1 - 1/3



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07 décembre 2009

 

Qui est-ce ?

Il fut un mathématicien, un philosophe, mais aussi un inventeur et un médecin italien du XVI° siècle.

Sa méthode de résolution des équations du troisième degré eut pour conséquence l'émergence des nombres imaginaires, puis celle des nombres complexes au XIX° siècle .

Il a donné son nom à un système mécanique ayant donné naissance à un joint de transmission encore utilisé dans nos chères automobiles .

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30 novembre 2009

 

Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs (par Anne Boyé )

Intéressant texte trouvé sur le site de l'APMEP

Extrait :

"Chacun conserve plus ou moins dans un coin de sa mémoire des moments de son éducation mathématique ; parmi ceux-ci, il y a fort probablement une petite place pour les négatifs. Certains, qui ont continué longtemps de pratiquer les mathématiques, ou les pratiquent toujours, ont peut-être perdu le souvenir de leurs premières interrogations, tant les négatifs leur sont devenus anodins. Pour d’autres, cela fait partie des notions obscures, sur lesquelles ils ont appris des règles, parce qu’il fallait bien s’en sortir, mais sans trop comprendre le fond des choses, sans trop en parler pour autant, car dans tous les cas, les nombres négatifs font partie des notions élémentaires des mathématiques, c’est un fait acquis.
Pourtant est-il si facile d’admettre que −5 soit inférieur à 2 ? (Pourquoi une dette de 5 euros serait-elle plus petite qu’un gain de deux euros ?)
Comment peut-on ajouter quelque chose à 5 pour obtenir 2 ?
...
Argand, un mathématicien français important du XIX siècle, notait qu’il avait fallu plusieurs siècles pour acquérir « les véritables notions des quantités négatives ». Et lui-même ne concevait pas vraiment le nombre négatif... "

La suite ci-dessous:
Nombres_negatifs_ABoye.pdf

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26 novembre 2009

 

La grande histoire des mathématiques .

Un livre de Piergiorgio Odifreddi, Claudio Bartocci et autres
Editeur : CNRS (septembre 2009 - 845 pages)

Présentation de l'éditeur :

Les lieux et les hommes
Premier volume d'un projet qui en comporte quatre, "Les lieux et les hommes" nous présente le récit des centres historiques à partir desquels a rayonné la science des nombres, de Babylone à Oxford, en passant par Princeton et Athènes, et des scientifiques qui en ont été les héros, de Pythagore à Bourbaki.
Sa réputation d'une science par trop adepte des abstractions a longtemps fait oublier son ancrage bien réel dans l'histoire des civilisations. Ce premier ouvrage vient nous rappeler que l'aventure des mathématiques est aussi celles de lieux géographiques et d'écoles culturelles aux prises avec les grands problèmes de leurs temps.

La Collection
Réunis autour d'un comité scientifique comptant pas moins de quatre médailles Fields (le « prix Nobel » des mathématiciens), les plus grands spécialistes internationaux nous livrent une collection qui s'impose dès à présent comme l'encyclopédie de référence sur les mathématiques.
Projet de coédition avec Einaudi, la plus prestigieuse maison d'édition scientifique italienne, La grande histoire des Mathématiques associe plus d'une centaine de collaborateurs et les plus grandes universités mondiales. La collection fait revivre, au fil de ses quatre volumes, trente siècles d'histoire mathématique. De l'invention du boulier à la théorie des jeux, du nombre d'or à la résolution du théorème de Fermat, en passant par les hommes qui en ont été les héros, les auteurs brossent une histoire totale et vivante d'une science aujourd'hui indispensable : sans outils mathématiques, pas de physique, de biologie, de chimie, d'informatique.

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16 novembre 2009

 

La méthode de Newton (ou de Leibniz ?)

Préambule machiste :
Quand la chauffarde dérive et le policier intègre .

Le policier :
" Madame, mon radar indique que vous rouliez à 100 kilomètres par heure ! "
La chauffarde:
" Voyons,voyons, monsieur le policier, ce n'est pas possible! Je suis partie il y a à peine 7 minutes ! "


Dans une lettre à Leibniz du 27 octobre 1676, Newton code par:

6a cc ae 13e ff 7i 31 9n 4o 4q rr 4s 9t 12v x

la phrase :

"Data aequation quotcuenque fuentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa"

qu'on peut traduire par :

"Etant donnée une équation impliquant un nombre arbitraire de variables,trouver les dérivées (fluxions) et vice versa."

Il emploie le terme de “fluxion”
("quotient ultime de deux accroissements évanescents")
à la place du terme moderne “dérivée ” - voir note n°1 -
et “fluente” à la place du terme “variable” ou “fonction”.
Cette phrase est à l'origine du théorème fondamental de l'analyse qui déclare pour simplifier que les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre .
Les conséquences de ce théorème sont énormes : En particulier et entre autres,tous les problèmes de calcul de longueurs, d’aires, de volumes et de centres de gravité sont ramenés à des calculs de primitives.
(intuitivement, le théorème dit simplement que si vous connaissez tous les petits changements instantanés d'une certaine quantité, alors vous pouvez calculer le changement général de cette quantité - voir note n°2-)
Depuis ce théorème, il a coulé beaucoup d'eau sous les ponts mathématiques et une véritable neige d'intégrales (simple, double, triple, multiple, impropre, curviligne, de Stieltjes, de Riemann, de Lebesgue,...) est tombée
-voir note n°3-

Pour Leibniz (à qui on doit le symbole de l'intégrale en forme de S pour "somme") il fut apparemment plus facile d’inventer indépendemment le calcul infinitésimal que de résoudre cet anagramme mais c'est Newton qui est historiquement reconnu comme l'auteur du théorème fondamental de l'analyse.
(Newton prétendit que Leibniz l'avait copié et la querelle dura un siècle)

Ce que nous appelons maintenant méthode de Newton dans les programmes scolaires est un moyen de construire une suite d’approximations d’une racine r d’une équation algébrique :

L'algorithme consiste à linéariser une fonction f en un point (en remplaçant en première approximation la courbe par sa tangente)et de prendre le point d'annulation de cette linéarisation comme approximation du zéro recherché. On réitère cette procédure en l'approximation obtenue.
Graphiquement, cela revient à tracer la tangente à la courbe représentative de f et à chercher où elle coupe l'axe des x. On considère alors la suite récurrente définie par la valeur x0 proche de la racine et par la relation :




Si x0 est " assez proche " de r, alors la suite xn converge vers r .

Pour plus de détails ,voir note n°4

Source : Wikipédia,pour partie


Note n°1:

Note n°2:
Supposons que nous voyagions sur une ligne droite, et que nous partions à l'instant t = 0, et avec une vitesse variable. Si d(t) indique notre distance à l'origine et v(t) représente notre vitesse à l'instant t, alors v(t) est le taux d'accroissement " infinitésimal " de d et est la valeur de la dérivée de d en t. Supposez que nous n'ayons qu'un compteur de vitesse qui indique la vitesse v(t), et que nous voulions retrouver notre distance d(t). Le théorème fondamental de l'analyse dit que nous devons " primitiver " v afin d'obtenir d. Et ceci est exactement ce que nous aurions fait, même sans connaître ce théorème : enregistrer la vitesse à des intervalles réguliers, peut-être toutes les minutes, et alors multiplier la première vitesse par 1 minute pour obtenir une estimation de la distance parcourue dans la première minute, puis multiplier la deuxième vitesse par 1 minute pour obtenir la distance parcourue dans la deuxième minute etc., et enfin ajouter toutes les distances précédentes. Pour obtenir une même meilleure estimation de notre distance actuelle, nous avons besoin d'enregistrer les vitesses à des intervalles de temps plus courts. La limite quand la longueur des intervalles tend vers zéro est exactement la définition de l'intégrale de v.

Note n° 3 : cliquer ici

Note n°4 : cliquer ici

P.S.
Ci-dessous ,un échantillon des mathématiciens (il en manque un certain nombre et non des moindres,Euler,Bernouilli et l'Hôpital en particulier) qui ont contribué au développement du calcul intégral:
Bien qu'Euclide et Archimède soient cités parce qu'ils l'ont préfiguré ,les Grecs n'ont pas véritablement pensé le calcul intégral : Celui-ci naquit après la Renaissance avec les travaux de Newton et Leibniz.




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14 novembre 2009

 

Une brève histoire des mathématiques (suivie d'une mauvaise pensée sur leur imparfaite vulgarisation)



Partie 2

Suite et fin de la brève histoire


Et au bout du compte , après plus de 25 siècles d'histoire et de tentative de vulgarisation :


Ne nous décourageons pas, continuons le combat de fond,car :

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04 novembre 2009

 

Séance solennelle de l’Académie des sciences 2009

Pour cette séance solennelle de l’Académie des sciences Jean Salençon, président de l’Académie des sciences, revient sur l’histoire de l’Académie Royale des sciences, des salons scientifiques et des missions de l’Académie. Écoutez également le discours de clôture d’Etienne Ghys, membre de l’Académie des sciences, sur l’harmonie du chaos.

Pour écouter ces deux discours



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02 novembre 2009

 

George Cantor et les infinis.

Un texte, un mathématicien
Georg Cantor et les infinis


Avec Patrick Dehornoy, université de Caen, membre senior de l'Institut universitaire de France.

Ecouter la conférence de Patrick Dehornoy diffusée sur France culture

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01 novembre 2009

 

Chaotique mathématique séduction.



Pour ceux qui veulent en savoir réellement un peu plus sur la véritable histoire du chaos en mathématiques:

"Harmonie ou chaos dans les systèmes dynamiques"
(pdf 48 Ko) par Étienne Ghys, Membre de l'Académie des sciences


PS:
Etienne Ghys me pardonnera peut-être de mon introduction un peu frivole à son très sérieux discours prononcé à l'Académie des Sciences lors de la séance solennelle de remise des prix 2009.

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05 octobre 2009

 

Chiffrement de Vigenère .

La cryptologie, du grec cruptos : étymologiquement la science du secret, ne peut être vraiment considérée comme une science que depuis peu de temps.On peut dire que la cryptologie est un art ancien et une science nouvelle :
Un art ancien car il fit son apparition durant la Grèce antique : Jules César l'utilisait déjà !
Une science nouvelle parce que ce n'est que depuis les années 1970 que c'est un thème de recherche scientifique académique (comprendre universitaire). Cette discipline est liée à beaucoup d'autres, par exemple la théorie des nombres,l'algèbre,la théorie de la complexité, la théorie de l'information,etc...
Dans un précédent billet,j'avais audacieusement révélé un de mes lieux de villégiature en utilisant le procédé de cryptage connu sous le nom de "l'Ave Maria de Trithème" (Trithème est le nom du moine bénédictin allemand qui l'inventa au XVIe siècle) consistant à remplacer chaque lettre du texte en clair par un groupe de mots,le texte crypté ressemblant alors à une sorte de poème; ce procédé bien connu n'avait bien sûr pas résisté à la sagacité affûtée de mes lecteurs ou lectrices.

Le chiffrement par décalage, aussi connu comme le chiffre de César,est une méthode de chiffrement très simple utilisée par Jules César dans ses correspondances secrètes.Le texte chiffré s'obtient en remplaçant chaque lettre du texte clair original par une lettre à distance fixe,toujours du même côté,dans l'ordre de l'alphabet.Par exemple avec un décalage de 3 vers la droite,A est remplacé par D, B devient E , etc... Il s'agit d'une permutation circulaire de l'alphabet. Trop simple à briser .
Un système de cryptographie beaucoup plus difficile à casser que les précédents fut inventé au XVIe siècle par l'italien Giovan Battista Bellaso et faussement attribué au français Vigenère.
Il consiste en une combinaison de différents chiffres de César.
On peut en effet écrire 25 alphabets décalés par rapport à l’alphabet normal :
l’alphabet qui commence par B et finit par …YZA
l’alphabet qui commence par C et finit par …ZAB
Le codage va s’effectuer sur le principe du chiffre de César :
On remplace la lettre d’origine par la lettre occupant la même place dans l’alphabet décalé.Mais à la différence du chiffre de César,un même message va utiliser non un,mais plusieurs alphabets décalés. Pour savoir quels alphabets doivent être utilisés, et dans quel ordre,on utilise une clé.Si cette clé est "GUYMARION" et le message "Il court il court le furet",on procèdera comme suit :
La première lettre du message,I,est la 9e lettre de l’alphabet normal. Elle doit être codée en utilisant l’alphabet commençant par la première lettre de la clé, G. Dans cet alphabet, la 9e lettre est le O. I devient donc O.La deuxième lettre du message, L, est la 12e lettre de l’alphabet normal. Elle doit être codée en utilisant l’alphabet commençant par la deuxième lettre de la clé, U. Dans cet alphabet, la 12e lettre est le F. L devient donc F, etc...
Quand on arrive à la dernière lettre de la clé,on recommence à la première
Évidemment, plus la clé sera longue et variée et mieux le texte sera chiffré)
Si on remplace les lettres de l'alphabet par des nombres de 0 à 25 (A=0, B=1 ...) , la transformation,lettre par lettre,se formalise simplement par :
Chiffré = (Texte + Clé) modulo 26
(Texte + Clé) modulo 26 correspond au « reste de la division entière de (Texte + Clé) par 26 » En fait il suffit d'effectuer l'addition des deux caractères puis de trouver le nombre correspondant à la lettre chiffrée,notre alphabet étant circulaire (après Z on a A),le modulo nous assure que notre résultat sera compris entre 0 et 25.
Il faudra attendre le xixe siècle pour que Charles Babbage trouve un moyen réellement efficace pour casser ce chiffrement.

A l'an zéro de la stéganographie(l'art de cacher des informations) cinq siècles environ avant J.C.,les grecs rasaient les cheveux d'un esclave,puis tatouaient sur son crane un message. Une fois les cheveux repoussés, l'esclave pouvait traverser les territoires ennemis sans éveiller les soupçons. Quand l'esclave arrivait à destination,il suffisait de raser à nouveau son crane pour récupérer le message.
Aujourd'hui,on utilise les propriétés des nombres premiers,la théorie des nombres, l'algèbre, la théorie de la complexité,etc.. pour coder les messages et la cryptologie est devenue une science à part entière,nous en reparlerons probablement dans un prochain billet.

En prime,je vais me livrer à une confidence de plus !

V'UVWHY IOIMBUL PM LSLYI XAOLM BU NAOJVUY
La clé est : Musique

(A décoder sans utiliser de moteur de recherche s.v.p.)

Note : "Il court,il court le furet" serait déjà,paraît-il,(Wikipédia l'affirme)une version cryptée par contrepèterie d'une affirmation peu élégante"

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07 septembre 2009

 

La mère des mathématiques.

C'est l'astronomie bien sûr!
Il n'y a pas de science plus ancienne.
L'astronomie est non seulement la mère des mathématiques,mais la première des sciences,la source incontestée de toutes les sciences.
C'est avec elle qu'est née la physique et plus encore la démarche scientifique,pour elle que les Grecs ont développé les mathématiques...
Hélas,cette science n'est enseignée ni au collège ni au lycée et par conséquent c'est aussi probablement la plus mal connue des sciences.
Demander à l'homme de la rue de vous expliquer le phénomène des saisons :
Il n'est pas rare d'entendre affirmer sans sourciller que s'il fait chaud en été, c'est parce que le soleil est plus proche de la terre.

Pour découvrir la terre,le soleil,les milliards d'étoiles,notre galaxie,les milliards d'autres galaxies,l'espace,le temps,il a fallu construire depuis des milliers d'années,des observatoires astronomiques:
C'est leur histoire qui est racontée dans le très beau documentaire ci dessous qui s'adresse à tout public .


PS:Ce documentaire fait partie d'une série qui passait sur la 3° chaîne il y a une quinzaine d'années,à une époque révolue où la télévision permettait encore de se cultiver,de s'élever,de rêver.




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28 juillet 2009

 

Cryptage .


La cryptologie, du grec cruptos : étymologiquement la science du secret, ne peut être vraiment considérée comme une science que depuis peu de temps. Cette science englobe la cryptographie — l'écriture secrète — et la cryptanalyse — l'analyse de cette dernière.On peut dire que la cryptologie est un art ancien et une science nouvelle :

Un art ancien car Jules César l'utilisait déjà et il fit son apparition durant la Grèce antique. Le premier exemple de l'apparition de la stéganographie, l'art de cacher des informations, remonte au Vè siècle av J-C, et est raconté dans les Histoires de Hérodote . Les grecs rasaient les cheveux d'un esclave, puis tatouaient sur son crane un message. Une fois les cheveux repoussés, l'esclave pouvait traverser les territoires ennemis sans éveiller les soupçons. Quand l'esclave arrivait à destination, il suffisait de raser à nouveau son crane pour récupérer le message.

Une science nouvelle parce que ce n'est que depuis les années 1970 que c'est un thème de recherche scientifique académique (comprendre universitaire). Cette discipline est liée à beaucoup d'autres, par exemple la théorie des nombres, l'algèbre, la théorie de la complexité, la théorie de l'information, ou encore les codes correcteurs.

Ci dessous un court message que j'ai écrit à mon retour de vacances du mois de juillet dévoilant mon lieu de villégiature .

"dans les cieux dans la divinité à perpétuité dans la félicité dans la félicité toujours dans son règne durable dans la béatitude irrévocablement dans la félicité à perpétuité un monde sans fin irrévocablement dans les cieux irrévocablement dans la lumière dans les cieux en paradis durable à perpétuité en une infinité à perpétuité dans son règne éternellement toujours dans la béatitude irrévocablement durable en paradis"

Depuis mon retour, j'ai hélas de légers problèmes de mémoire:
J'ai en effet perdu une partie du code de cryptage du message,je ne me souviens que de ce qui suit:

A= dans les cieux
B= à tout jamais
C=un monde sans fin
D= en une infinité
E= à perpétuité
...

P= dans la divinité
R= dans la félicité

Je ne me souviens même plus du nom de la station balnéaire de Bretagne qui figure en tête du message et dont j'ai heureusement gardé la photo d'une de ses plages
(je peux juste vous dire que l'eau était très froide)
ni du nom du gâteau breton horriblement sucré que je révèle à la fin du message.
Pouvez vous m'aider s.v.p. ?



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29 juin 2009

 

Repéré !

La géométrie repérée, on disait naguère géométrie analytique,est une approche de la géométrie dans laquelle les objets géométriques sont représentés par des couples de nombres,des équations ou des inéquations.
En géométrie analytique le choix d'un repère est indispensable. Tous les objets,points ,vecteurs,droites etc... seront décrits relativement à ce repère, à l'aide de coordonnées,d'équations ou d'inéquations de telle sorte que les démonstrations puissent s'appuyer largement sur des calculs algébriques permettant d'établir des propriétés d'ordre géométrique.Par exemple,pour démontrer que le point A est sur la droite (BC),il suffira d'établir que les coordonnées de A satisfont l'équation de la droite (BC) ou bien,selon les données dont on dispose,d'établir par un court calcul sur leurs coordonnées,que les vecteurs vect(AB) et vect(AC) par exemple,sont colinéaires.

Penser et travailler avec des nombres est plus facile qu'avec des points, des
droites et des cercles ou d'autres courbes . C'est de cette constatation qu'est venue l'idée de "numériser" la géométrie.
Cette idée,on la doit à René Descartes qui fut le premier à proposer de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au calcul algébrique.
Pierre de Fermat,à la même époque, propose lui un usage systématique des coordonnées proprement dites pour résoudre les problèmes de lieux géométriques. Il fait intervenir notamment les premières équations de droites, paraboles ou hyperboles.


Un point du plan (ou un vecteur) est repéré par un couple de coordonnées dans un repère cartésien,un point de l'espace est repéré lui par un triplet de coordonnées .
Ce sont les coordonnées cartésiennes .
Mais il existe bien d'autres types de coordonnées (barycentriques,cylindriques,sphériques) et il serait trop long de les évoquer tous ici.

Pour repérer un lieu à la surface de la terre on utilise les coordonnées géographiques (ou encore « repères géographiques ») :
la latitude, la longitude et le niveau de la mer.

C'est ce que tente de faire Google pour nous repérer tous .

Et il progresse :

Je viens de découvrir en effet que mon ombre figure sur la photo ci-dessus.
Plus précisément,sur l'axe "vertical" de l'image,aux environs du point de coordonnées
(0 ;-2) dans un repère orthonormé centré sur l'image
(de hauteur 10 unités)
Oui,c'est cela,tout proche d'une haie,jouxtant un grand cèdre bleu vert planté par mes ancêtres durant la Révolution française.
C'était l'été dernier et j'étais censé être de l'autre côté de la maison,occupé dans mon garage à repeindre les volets...
Méfiance,méfiance,on est de plus en plus surveillé !

P.S.
Message aux enfants :
Ne suivez pas mon mauvais exemple(j'ai toujours été très imprudent),ne laissez jamais votre photo ou vos coordonnées sur internet!

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18 juin 2009

 

Euler : Les mathématiques et la vie - André Warusfel (mai 2009)

Présentation de l'éditeur :

Trente mille pages ! On connaît des oeuvres littéraires immenses (Balzac, Hugo...). Elles furent très difficiles à écrire, supposaient un œil d'aigle, une imagination sans bornes, un grand talent et un souffle épique. Celle d'Euler, né il y a trois cents ans, est, quant à elle, exclusivement consacrée aux mathématiques (mais elle touche à la mécanique et à la physique, alors très liées). Ici, la seule volonté de l'auteur ne pouvait pas suffire car les sciences dures - comme on dit aujourd'hui - exigent d'autres capacités encore, créatives et techniques, qui dépassent l'entendement usuel. Or cet homme fut borgne, puis aveugle une grande partie de sa vie ! On verra que, dans une époque cruciale comprise entre les explosions novatrices et fécondes des deux siècles qui l'entourent, Euler fut un organisateur solitaire et sans égal ; il se montra notamment capable de tirer des conséquences puissantes des innovations de Descartes, de Newton ou de Leibniz, pour ne citer qu'eux. C'est ainsi que des métiers comme ceux de mathématicien, de physicien et d'ingénieur lui doivent une grande part de leur efficacité actuelle. On pourra aussi se réjouir d'apprendre comment fut conçue la droite d'Euler, retrouver les célèbres ponts de Koenigsberg, découvrir la tentative osée d'un théoricien de la musique, voir comment furent engendrés des concepts comme l'espérance de vie, juger les compromis qu'il dut faire sur l'usage de l'infini, entre rigueur et intuition, admirer la subtilité avec laquelle il prouva certains théorèmes de Fermat (alors non démontrés), apprécier le vulgarisateur, etc. La quasi-totalité de ses travaux est désormais accessible en ligne, avec la patine de l'époque : analyse, géométrie, et toutes sortes de calculs au degré de perfection alors inouï ; ce livre s'en veut être l'élégante porte d'entrée. Lisez un maître !


L'auteur
:

Mathématicien, ancien élève de l'Ecole normale supérieure, André Warusfel consacra l'essentiel de sa carrière à l'enseignement. Si de nombreuses générations d'élèves de classes préparatoires des lycées Henri-IV et Louis-le Grand l'ont ainsi fréquenté, il est également connu comme vulgarisateur puisqu'on lui doit le tout premier livre à succès sur le Rubik's cube tandis que "Les nombres et leurs mystères" - qu'il publia à vingt-cinq ans - est, depuis 1961, sans cesse réédité en collection de poche.

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17 juin 2009

 

Chance mathématique .


Le mot chance vient de l’ancien français chéance (« façon de tomber »), chéance découlant du verbe choir. On est passé du général « façon de tomber » au particulier « façon qu’ont les dés de tomber » puis au sens, lié au jeu de dés, d’aléa, de hasard.

Aléa est un mot latin signifiant hasard

Hasard vient de de l'arabe الزهر az-zahr signifiant dé ou jeu de dés .

En résumé,les mots chance,aléa et hasard sont tous les trois liés au jeu de dés

Et,de fait,les paradoxes liés au jeu de dés sont à l'origine de la naissance de ce qui deviendra bien plus tard la théorie mathématique des probabilités (ébauchée par Cardan au seizième siècle, Pierre de Fermat et Blaise Pascal au dix-septième siècle.)

En voici deux :

1)Le paradoxe du chevalier de Méré:

Est-il avantageux, lorsqu'on joue au dé, de parier sur l'apparition d'un 6 en lançant 4 fois le dé? Est-il avantageux de parier sur l'apparition d'un double-six, quand on lance 24 fois deux dés? Le chevalier de Méré, qui était un grand joueur, avait remarqué que le premier jeu était avantageux. Et en effet, la probabilité d'apparition d'un 6 en lançant 4 fois un dé est :
1-(5/6)^4 soit environ 0,517 .
Le chevalier considérait que le deuxième pari était aussi avantageux :
en lançant un dé, il y a 6 issues; en lançant deux 2 dés, il y en a 36, soit 6 fois plus. Puisqu'il est avantageux de parier sur l'apparition d'un 6 en lançant le dé 4 fois de suite, il doit être avantageux de miser sur l'apparition d'un double-six en lançant un dé 24 = 4×6 fois de suite. Malheureusement pour le chevalier, les règles des probabilités sont plus complexes, et c'est Pascal qui calcula la vraie probabilité :
Elle est très légèrement inférieure à 1/2 : le deuxième jeu n'est pas avantageux!

2) Le paradoxe du prince de Toscane :

Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6 , on obtient plus souvent un total de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Cardan (l'inventeur du joint de transmission qui porte son nom), paraît-il,sécha sur le problème et c'est Galilée,encore lui,qui en donna l'explication : Il fallait tenir compte de l'ordre des décompositions de 9 et 10 en sommes de 3 nombres (c'est à dire distinguer par exemple 2 + 3 +4 de 3 +2 + 4) pour se placer dans une situation d'équiprobabilité .
Ainsi 9 se décompose de 25 façons et 10 de 27 façons et par conséquent on obtient un peu plus souvent 10 que 9 . ( p(9)=25/216 et p(10) = 27/216)
La différence est très faible mais le Grand Duc de Toscane était un joueur acharné !

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04 juin 2009

 

L'hypothèse de Riemann : Où sont les zéros de Zéta ?



John Derbyshire, auteur de "Prime Obsession" (Dans le jungle des nombres premiers ), est journaliste, romancier, essayiste, "Pop-math author",
Sur son site, il nous propose son interprétation de la chanson "Where are the zeros of Zeta of s"




Cliquer sur l'image




Where are the zeros of zeta of s ?
G.F.B. Riemann has made a good guess,
They’re all on the critical line, sai he,
And their density’s one over 2pi log t.

This statement of Riemann’s has been like trigger
And many good men, with vim and with vigor,
Have attempted to find, with mathematical rigor,
What happens to zeta as mod t gets bigger.

The efforts of Landau and Bohr and Cramer,
And Littlewood, Hardy and Titchmarsh are there,
In spite of their efforts and skill and finesse,
(In) locating the zeros there’s been no success.

In 1914 G.H. Hardy did find,
An infinite number that lay on the line,
His theorem however won’t rule out the case,
There might be a zero at some other place.

Let P be the function pi minus li,
The order of P is not known for x high,
If square root of x times log x we could show,
Then Riemann’s conjecture would surely be so.

......

L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et fait l'objet d'un des problèmes Clay pour le troisième millénaire, doté d'un prix d'un million de dollars américains.

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21 mai 2009

 

Analyseur harmonique mécanique .


Cet appareil totalement mécanique était destiné à calculer les premiers termes du développement en série de Fourier d'une fonction périodique définie par un graphe donné.

Invention des frères James et William Thomson

( W. Thomson deviendra lord Kelvin).

Science museum , London.





« Je crois qu'en utilisant cette machine pour l'analyse harmonique des marées, on pourra

obtenir, en une heure ou deux, chacun des éléments harmoniques simples des marées d'une année enregistrées sur des courbes à la manière habituelle grâce à un marégraphe ordinaire – un résultat qui jusqu'à présent ne requiert pas moins de vingt quatre heures de calcul par des arithméticiens expérimentés. Je pense que cet instrument sera d'une grand utilité pour déterminer les constituants diurne, semi-diurne, tri-diurne, et quadri-diurne des variations quotidiennes de température, de pression barométrique, des composantes Est-Ouest et Nord-Sud de la vitesse du vent, des trois composantes de la force magnétique terrestre, du potentiel électrique de l'air au point où le cours de l'eau se brise en gouttes dans les électromètres atmosphériques, et d'autres sujets relatifs aux observations magnétiques ou météorologiques ordinaires. Il permettra aussi d'estimer précisément la variation du magnétisme terrestre pendant la période de onze ans des taches solaires, et des taches solaires elles-mêmes ; de confirmer ou d'infirmer également d'éventuelles relations entre les taches solaires et les positions et conjonctions planétaires ; d'étudier aussi l'influence de la lune sur la hauteur du baromètre, et sur les composantes de la force magnétique terrestre, et de trouver si l'influence de la lune est sensible sur tout autre phénomène météorologique ».

Thomson W., 1876



L'analyse harmonique, ou analyse de Fourier, est la branche des mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. Durant ces deux derniers siècles, elle a eu de nombreuses applications en physique sous le nom d'analyse spectrale, et connaît des applications récentes notamment en traitement des signaux, mécanique quantique, neurosciences, stratigraphie...


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11 mai 2009

 

De Descartes à Bézier : Suite de l'histoire.

Récemment,je fis un modeste cadeau à ma lointaine cousine d'Amérique,que je ne présente plus. Je lui offris (via son blog) les équations de mon logo :



x(t) = sin(2t) - 6sin(5t)

y(t) = ( cos(4t) )^5 - 1.1cos(t)


t variant de 0 à 2*Pi




En retour,elle écrivit un billet élégamment illustré et scénarisé par ce logo où elle explique (avec ses talents de cyberconteuse que tout le monde connaît maintenant ) que pour dessiner de belles courbes,les équations cartésiennes, c'est bien;mais les équations paramétriques,c'est mieux.

C'EST ICI

Les équations paramétriques pour dessiner de belles courbes,c'est mieux en effet,mais ce n'est pas suffisant pour pouvoir numériser n'importe quelle courbe que l'on crée de sa main,des courbes non mathématiques,des courbes sans équations,des courbes ou surfaces dont le type est soit non classifiable, soit non connu à l'avance.

Il y a beaucoup plus souple et créatif encore :

Ce sont les courbes de Bézier !


De Descartes à Bézier .
Voici donc la suite de l'histoire :

Nous sommes dans les années soixante et cela se passe en France,bien sûr; chez le constructeur d'automobiles Renault exactement.


Vers 1962, Pierre Bézier, ingénieur chez Renault a mis au point une méthode permettant de définir toute surface par un nombre minimal de points caractéristiques. Cette méthode doit permettre de modifier facilement la surface par déplacement de quelques points et de pouvoir la représenter sans "cassure" (continûment dérivable).

L'idée directrice est de tracer une courbe en déplaçant le barycentre d'un certain nombre de points, appelés points de contrôle et affectés de coefficients dépendant d'une variable. En modifiant ensuite la position des points de contrôle, on déforme progressivement la courbe jusqu'à l'obtention du profil recherché.

On peut définir le barycentre final M qui va numériser la courbe que l'on va créer de sa main,en enchaînant des barycentres successifs de deux points ,comme sur l'applet interactif ci-dessous :



Cliquer ici pour ouvrir l'applet géogébra et vous allez tout comprendre.





Les recherches de Pierre Bézier aboutirent à un logiciel, Unisurf, qui est à la base de tous les logiciels créés par la suite. Les concepts de CAO et de CFAO venaient de prendre forme.

Renault a pendant longtemps utilisé Unisurf, puis celui-ci a été transformé par Matra Datavision. Aujourd'hui, les dessinateurs travaillent sur Catia. La CAO a réduit les temps de développement de quatre à deux ans.

A l'autre bout du monde (en Amérique bien sûr),des années plus tard,un groupe de développeurs liés à Apple créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s'agissait de trouver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme le tracé d'un caractère, avant de l'envoyer à l'imprimante...L'un de ces développeurs, John Warnock, connaissait le travail du Français. Tout naturellement,il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la société Adobe. On sait comment le PostScript fit la fortune de cette start-up devenue multinationale. Et comment le nom de Pierre Bézier fut popularisé par un autre best-seller d'Adobe,le logiciel de dessin Illustrator.

Aujourd'hui, les graphistes et designers utilisent l'outil Plume et tracent des courbes de Bézier sans avoir la moindre idée de leur origine, un peu comme monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir...

L'idée de Pierre Bézier,fondée au départ sur l'utilisation du barycentre,moyenne pondérée de points définie à l'aide des vecteurs,il y a moins de cinquante ans,a entraîné une quasi-révolution industrielle !

Une belle histoire ?

Hèlas,aujourd'hui,presque personne connaît le nom de Pierre Bézier.


Lorsqu’on songe qu’en 1999 à l’enterrement de Pierre Bézier, tous les PDG des grandes firmes automobiles étaient présents mais point de représentant notoire de la République Française, cela en dit long sur la capacité de l’espace public de prendre en compte les priorités de la recherche.



Pour en savoir plus,lire cet excellent article : (si vous avez du temps car c'est assez long)
Les courbes de Bézier ont révolutionné le monde

Sources : Wikipédia et Images des mathématiques,pour partie.

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27 avril 2009

 

Les triangles d’Euclide, de Gauss et de Gromov (Un tout petit bout de l’œuvre de Misha Gromov)

Pour en savoir un peu sur la géométrie non-euclidienne .

Très intéressant article d'Etienne Ghys (Directeur de recherche CNRS, École Normale Supérieure de Lyon)

C'est ici

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22 avril 2009

 

Zu Chongzhi-mathématicien chinois

Avant-hier,lundi 20 avril, Google Chine a changé son logo à l'occassion du 1580 ième anniversaire de la naissance de Zu Chongzhi 祖冲之, un grand mathématicien et astronome chinois dans la Chine antique. Né en 429, mort en 500, la plus grande contribution de Zu Chongzhi est le calcul de Pi à une précision de 7 décimales après la virgule au Ve siècle. .
Au IIIe siècle, en Chine, Liu Hui 刘徽, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre, la valeur pratique de 3, développe des calculs proches de ceux d'Archimède, mais plus performants, et fournit une approximation de π à 3,1416 .
Sa méthode pour définir le nombre π : il s'agissait en fait de calculer la circonférence du polygone régulier inscrit dans le cercle, ce qui permettait d'obtenir un résultat très proche de la réalité, mais avec toutefois une marge d'erreur de 0,001%.
Zu Chongzhi, de son côté, a pu affiner ce calcul avec une marge d'erreur de seulement 0,00001%. Et il a ainsi obtenu une valeur pour le nombre π oscillant entre 355/113 = 3,1415926  et 22/7 = 3,1415927 . Quant à sa méthode de calcul, elle reste difficile à préciser. S'il avait utilisé celle de Liu Hui, il aurait dû calculer le périmètre d'un polygone régulier à 16000 côtés. Combien de temps et de travail lui aurait-il alors fallu ? 

En 1429, Al-Kashi a calculé 14 décimales de π. En 1596, l'Allemand Ludolph van Ceulen a calculé 20 décimales, puis 34 en 1609.

Avec son fils, Zu Chongzhi a découvert le principe de Cavalieri plus de 1000 ans avant ce dernier, ce fut une autre grande contribution aux mathématiques.

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06 avril 2009

 

Géométrie algorithmique

L'objet du calcul géométrique est de représenter, calculer et manipuler les objets géométriques. Le calcul géométrique remonte aux origines des mathématiques et a été développé avec des points de vue très différents selon les époques et les cultures, pratique chez les arpenteurs égyptiens qui évaluaient des aires et des volumes, plus abstrait chez les grecs avec les constructions à la règle et au compas. Les premiers se souciaient principalement de calculs numériques et connaissaient des approximations assez précises de Pi. Les seconds inventaient une démarche algorithmique sans se préoccuper de la précision de leurs tracés. Ces deux points de vue se retrouvent aujourd'hui alors que l'ordinateur a renouvelé le calcul géométrique et lui donne un rôle clé dans de nombreuses applications.



Les premiers objets géométriques qui ont été créés et manipulés sur un ordinateur étaient des objets manufacturés, à la géométrie complexe mais à la construction relativement simple : on pouvait les dessiner sur un écran d'ordinateur avec un système de CAO.



L'intérêt pour les questions combinatoires est apparu plus récemment quand il a fallu représenter des objets de grandes tailles : objets naturels (organes, molécules, surfaces géologiques), scènes complexes comportant des millions de facettes des mondes réels ou virtuels de l'infographie, objets plongés dans des espaces de grandes dimensions comme les espaces de configuration de robots.


Naissance de la géométrie algorithmique




Le calcul géométrique a ainsi évolué et l'étude traditionnelle des courbes et des surfaces s'est vue complétée par l'analyse des aspects algorithmiques. La géométrie algorithmique est ainsi devenue à la fin des années 70 une nouvelle branche de l'informatique qui étudie la conception et l'analyse des algorithmes géométriques : calcul d'intersections, problèmes de visibilité, planification de trajectoires, optimisation géométrique etc. La résolution de ces problèmes s'appuie souvent sur la construction d'un petit nombre de structures de données géométriques fondamentales : arbres de recherche multidimensionnelle, triangulations, cartes, polyèdres, arrangements, diagrammes de Voronoï.


Source


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