07 novembre 2007
Sans titre
Considérons la suite définie par:
U(0)=3/2
U(1)=5/3
et pour tout entier n supérieur ou égal à 1
U(n+1) =2003 -6002/U(n) + 4000/ ( U(n)*U(n-1))
Etudiez la convergence de cette suite.
Nota Bene : Vous avez droit aux calculatrices.
U(0)=3/2
U(1)=5/3
et pour tout entier n supérieur ou égal à 1
U(n+1) =2003 -6002/U(n) + 4000/ ( U(n)*U(n-1))
Etudiez la convergence de cette suite.
Nota Bene : Vous avez droit aux calculatrices.
Libellés : Epreuve pratique, Infos et actualités
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Bonjour
Bien sûr, cet exercice met en exergue la sensibilité de toute calculatrice aux erreurs d'arrondis. Mais ce n'est pas une preuve, loin de là, qu'il faut se se méfier d'elles (les calculatrices). Au contraire, une calculatrice (avec un peu de calcul formel, je vous l'accorde) permet d'étudier intelligemment (j'ose le mot) le problème posé ici.
J'ai écrit un document sur le sujet, je vous en donne l'adresse:
http://www.mathprepa.fr/classpad/exo002.pdf
Bien sûr, cet exercice met en exergue la sensibilité de toute calculatrice aux erreurs d'arrondis. Mais ce n'est pas une preuve, loin de là, qu'il faut se se méfier d'elles (les calculatrices). Au contraire, une calculatrice (avec un peu de calcul formel, je vous l'accorde) permet d'étudier intelligemment (j'ose le mot) le problème posé ici.
J'ai écrit un document sur le sujet, je vous en donne l'adresse:
http://www.mathprepa.fr/classpad/exo002.pdf
Réponse à jmf:
Merci de votre commentaire et de votre intéressant document joint.
Le titre "Méfiez-vous des calculatrices ! " du précédent message du 7 octobre 2007 http://abcmaths.free.fr/blog/2007/10/
mfiez-vous-des-calculatrices.html
est une réponse à la confiance excessive qu'accordent en général les élèves du secondaire aux résultats affichés par les calculatrices , parce qu'ils ignorent leur mode de calcul fondé sur une arithmétique virgule flottante et en particulier ce qui suit:
Les nombres représentables exactement, qui forment un sous-ensemble des nombres rationnels, sont appelés nombres machine. Tous les autres doivent être arrondis, c'est-à-dire fournir un nombre machine proche du résultat exact.Seuls les rationnels dont la forme irréductible est n/(2^q), peuvent avoir une représentation exacte ; les autres ont nécessairement une représentation approchée (par exemple, le nombre décimal 1/10 est converti en base 2 en 0.000110011..., les 4 derniers chiffres étant répétés indéfiniment).
Ainsi, un grand nombre d'élèves vont être persuadés (de chez persuadé), à la lecture des 10 premières valeurs affichées par la calculatrice ,que la suite citée converge vers 2000 .
Guy Marion
Merci de votre commentaire et de votre intéressant document joint.
Le titre "Méfiez-vous des calculatrices ! " du précédent message du 7 octobre 2007 http://abcmaths.free.fr/blog/2007/10/
mfiez-vous-des-calculatrices.html
est une réponse à la confiance excessive qu'accordent en général les élèves du secondaire aux résultats affichés par les calculatrices , parce qu'ils ignorent leur mode de calcul fondé sur une arithmétique virgule flottante et en particulier ce qui suit:
Les nombres représentables exactement, qui forment un sous-ensemble des nombres rationnels, sont appelés nombres machine. Tous les autres doivent être arrondis, c'est-à-dire fournir un nombre machine proche du résultat exact.Seuls les rationnels dont la forme irréductible est n/(2^q), peuvent avoir une représentation exacte ; les autres ont nécessairement une représentation approchée (par exemple, le nombre décimal 1/10 est converti en base 2 en 0.000110011..., les 4 derniers chiffres étant répétés indéfiniment).
Ainsi, un grand nombre d'élèves vont être persuadés (de chez persuadé), à la lecture des 10 premières valeurs affichées par la calculatrice ,que la suite citée converge vers 2000 .
Guy Marion
On est d'acord.
Et bravo pour votre site.
J'ajoute un exemple très simple (et ça n'est pas une construction artificielle, ça m'est arrivé au détour d'un problème que j'écrivais pour mes élèves).
On considère la suite de terme général u(n)=(1-a^n)^n, où a est un réel strictement compris entre 0 et 1.
On a ln(u(n))=n*ln(1-a^n), qui est équivalent à -n*a^n quand n tend vers +oo. Donc ln(u(n)) tend vers 0 donc u(n) tend vers 1.
Maintenant, demandez à vos élèves d'étudier cette suite avec leur calculatrice, notamment avec des valeurs de a proches de 1; faites par exemple l'essai avec a=0,999 et demandez à vos élèves quelle est la limite.
Proposer ce genre d'exercices à la future épreuve pratique, je suis un peu circonspect. C'est un peu comme si on passait le permis et que le moniteur vous enseigne les conditions extrêmes de la conduite (négocier un tête à queue, que faire quand la pédale de frein ne répond pas, etc...).
Bon, c'est pas tout ça, bonne année!
Jean-Michel Ferrard
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Et bravo pour votre site.
J'ajoute un exemple très simple (et ça n'est pas une construction artificielle, ça m'est arrivé au détour d'un problème que j'écrivais pour mes élèves).
On considère la suite de terme général u(n)=(1-a^n)^n, où a est un réel strictement compris entre 0 et 1.
On a ln(u(n))=n*ln(1-a^n), qui est équivalent à -n*a^n quand n tend vers +oo. Donc ln(u(n)) tend vers 0 donc u(n) tend vers 1.
Maintenant, demandez à vos élèves d'étudier cette suite avec leur calculatrice, notamment avec des valeurs de a proches de 1; faites par exemple l'essai avec a=0,999 et demandez à vos élèves quelle est la limite.
Proposer ce genre d'exercices à la future épreuve pratique, je suis un peu circonspect. C'est un peu comme si on passait le permis et que le moniteur vous enseigne les conditions extrêmes de la conduite (négocier un tête à queue, que faire quand la pédale de frein ne répond pas, etc...).
Bon, c'est pas tout ça, bonne année!
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