26 septembre 2008
La duplication du cube
La duplication du cube est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Ce problème consiste à construire un cube, dont le volume est deux fois plus grand qu'un cube donné, à l'aide d'une règle et d'un compas. Cela revient donc à multiplier l'arête du cube par ![\sqrt[3]2](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/a/eca0e705b1d86d4b1542e5d33b6f1d73.png)
.
Le problème a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne dans son Arithmétique. Les Déliens, victime d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.
La question intéressa de nombreux mathématiciens. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, mais aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas.
En 1837, Pierre-Laurent Wantzel établit un théorème donnant la forme des équations des problèmes solubles à la règle et au compas.
Il démontre que n'est pas constructible.
La duplication du cube est donc impossible à réaliser.
Libellés : Histoire des mathématiques
Par exemple [(1+(1-5^(1/2))^(1/2)]/7 est constructible à la règle et au compas à partir de 0 et 1.
Pour montrer que la duplication du cube est impossible, il suffit alors de montrer que 2^(1/3) ne peut pas s'exprimer à l'aide des quatre opérations, de nombres entiers, et de racines carrées.
Ce n'est pas évident : on utilise la notion de degré d'un nombre algébrique (=degré de son polynôme minimal). On montre que le polynôme minimal de 2^(1/3) est X^3-2 et donc que 2^(1/3) est de degré 3. Et on montre qu'un nombre qui s'exprime à l'aide des quatre opérations, de nombres entiers, et de racines carrées, est nécessairement de degré une puissance de 2 (la réciproque étant fausse ! contre-exemple ?).
: 7:38 AM 
Links to this post:
<< Home
