05 octobre 2008

 

Un équation du second degré avec 3 solutions ?

Un théorème important de l’algèbre indique qu’une équation polynomiale de degré n (n entier ≥ 1) à coefficients réels possède au plus n solutions : une équation de degré 1 possède au plus une solution ; une équation de degré 2 possède au plus deux solutions, etc.

Dans le cas réel qui seul nous concernera ici, une équation de degré 2 possède donc au plus 2 solutions différentes.
Souvenez-vous, pour l’équation ax² + bx + c = 0, les racines
sont données par :

x' = (-b + √Δ)/2a ; x" = (-b - √Δ)/2a
où Δ = b² - 4ac

Pourtant, voici une exception à cette règle. Considérons trois nombres réels a, b et c fixés et deux à deux distincts
(si vous le souhaitez, prenez a = 1, b = 2, c = 3). Analysons l’équation suivante :

[(x − a)(x − b)]/[(c − a)(c − b)]+ [(x − b)(x − c)]/[(a − b)(a − c)]+[ (x − a)(x − c)]/[(b− a)(b − c)] = 1

C’est une équation de degré 2 en l’inconnue x car c’est une somme, chaque terme étant un polynôme de degré 2.
Le nombre a est solution de l’équation car, quand on remplace x par a, le premier terme s’annule, de même que le troisième, alors que le second prend la valeur 1. Notons qu’aucun dénominateur ne s’annule, nous respectons bien les règles de calcul qu’impose ce genre de manipulations.
Le nombre b et le nombre c, pour des raisons analogues, sont aussi solutions de cette équation qui possède donc trois solutions. Puisque a, b et c ont été supposés distincts, nous avons donc une équation du degré 2 possédant 3 solutions différentes.
Est-ce la trace d’un paradoxe au coeur de l’algèbre élémentaire, et faut-il entreprendre le rappel des millions de livres de mathématiques qui mentionnent l’énoncé du théorème fondamental de l’algèbre ?
Ou bien y a t-il une petite erreur quelque part ?

Extrait de :
Paradoxes par Jean-Paul Delahaye

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Comments:
Moi je dirai qu'elle est pas petite, et en plus il y en a pas qu'une mais deux, parce que ton ensemble solution est un peu incomplet...
 
Deux graves erreurs donc pour le très vigilant Olivier.
 
C’est une équation de degré 2 en l’inconnue x car c’est une somme, chaque terme étant un polynôme de degré 2.

Tiens un théorème que je ne connaissais par ;-)

Moi aussi je peux ? a+b > a pour tout réel a et b.
2x > x pour tout réel x.

Quel coquin ce Guy Marion ...
 
Normalement une équation de degré 2 ayant 3 solution est égale au polynôme nul ;).

L'art d'écrire 0 = 0 ;).

Amusant en tout cas et c'est un bel exemple du théorème si un polynôme de degré n admet n+1 racine alors c'est le polynôme nul!.

Pour laïdi, pour tout réel cela ne marchera pas par contre pour tout réel positifs cela sera juste et on pourrait je pense affiner sur le fiat que la relation est vrai pour tout réel a avec b positif d'ailleurs.

Bonne continuation @toutes et tous!
 
ça s'amuse comme des petits fous à triturer l'algèbre !
Je m'amuse toujours des mystères des Maths !
 
Pour pousser un peu plus loin les commentaires, il faut peut-être dire deux choses :
- le théorème qui est correct est que l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 est stable par addition et multiplication par un réel (c'est un espace vectoriel réel);
- l'expression donnée est celle d'un polynôme d'interpolation de Lagrange et on donne l'unique polynôme de degré au plus 2 qui vaut 1 en a, en b et en c ... et il se trouve que, par unicité, c'est le polynôme constant égal à 1 !


Mais on peut aussi remarquer qu'il s'agit d'une identité entre polynômes et pas seulement entre fonctions polynomiales. Elle est vraie sur à peu près n'importe quoi et pas seulement sur le corps des nombres réels : sur un corps contenant a, b et c ou mieux, si on l'écrit autrement, sur un anneau contenant a, b et c.

On peut en effet l'écrire
(x-a)(x-b)(a-b)+(x-b)(x-c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)=(a-b)(a-c)(b-c).

Pour démontrer cette identité, on peut développer et constater. On peut aussi utiliser les déterminants. En effet l'expression (u-v)(v-w)(u-w) est égale au déterminant des trois vecteurs
(1,u,u^2)
(1,v,v^2)
(1,w,w^2)
aussi appelé déterminant de Vandermonde de (u,v,w) et que l'on peut noter V(u,v,w).

On veut donc démontrer
V(x,a,b)+V(x,b,c)+V(x,c,a)=V(a,b,c).

C'est tout de même une propriété remarquable des déterminants de Vandermonde et elle n'est pas immédiate si on ne l'interprète pas comme une interpolation ...

Je conviens de noter V(u,v,[w+u]), par exemple, le déterminant obtenu à partir de V(u,v,w) en ajoutant la colonne correspondant à u à celle correspondant à w. Une propriété des déterminants est que cette opération ne change pas la valeur du déterminant (en tant que polynôme en les indéterminées u, v et w).

On a alors
V(x,a,b)+V(x,b,c)=-V(x,b,a)+V(x,b,c)=V(x,b,[c-a])
et
V(x,c,a)=-V(x,c,[-a])=-V(x,c,[c-a]).
D'où
V(x,a,b)+V(x,b,c)+V(x,c,a)=V(x,[b-c],[c-a]).

Par ailleurs
V(a,b,c)=V(a,[b-c],c)=V(a,[b-c],[c-a]).

Et il faut donc voir que V(u,[b-c],[c-a]) ne dépend pas de u : pour u=x ou u=a, on obtient la même chose.

Or la première ligne de ce déterminant est un 1 (correspondant à u) suivi de 0 (car [b-c] donne une contribution 1-1=0 et [c-a] aussi). Si on développe par rapport à la première ligne ce déterminant, il est donc égal à son mineur (1,1), qui ne contient pas de u.

On a donc V(x,[b-c],[c-a])=V(a,[b-c],[c-a]) et donc
(x-a)(x-b)(a-b)+(x-b)(x-c)(b-c)+(x-a)(x-c)(c-a)=(a-b)(a-c)(b-c).

Le tout avec des manipulations sur les déterminants peu sujettes à erreur.
 
François a incontestablement élevé le débat !
 
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