12 février 2009
2009 encore (et toujours sans calculatrice)
Existe-t-il au moins un entier naturel n dont la somme des diviseurs y compris 1 et lui-même est égale à 2009 ?
Libellés : Enigme
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Le nombre cherché est visiblement compris entre 1 et 2009 donc on pourrait essayer tous les candidats à la main...
Méthode plus sophistiquée.
Notons S(n) la somme des diviseurs de n, pour tout entier n>0.
Théorème (admis). La fonction S a une propriété intéressante : elle est multiplicative. Cela signifie que S(xy)=S(x)S(y) si x et y sont premiers entre eux.
On veut résoudre S(n)=2009.
Analyse : soit n une solution. Décomposons n en produit de facteurs premiers.
n=n(1)*n(2)*...*n(r) où les n(i) sont des puissances >1 de nombres premiers différents. Donc les n(i) sont premiers entre eux. D'après le théorème :
S(n)=S(n(1))*S(n(2))*...*S(n(r))
2009=S(n(1))*S(n(2))*...*S(n(r))
Comme S(n(i))>=n(i)>1, on a là une décomposition de 2009 en facteurs non triviaux. Par ailleurs, faisons la liste de toutes les décompositions non triviales (=sans facteurs 1) possibles pour 2009 :
Avec un seul facteur : 2009
Avec deux facteurs : 7*287, 49*41
Avec trois facteurs : 7*7*41
Il y a donc quatre cas :
Cas 1. n=n(1) et S(n(1))=2009.
n(1) est de la forme p^a avec p premier avec a>0. Ses diviseurs sont 1,p,p²,...,p^a. Donc :
1+p+p²+...+p^a=2009
Donc p divise 2008, donc p vaut 2 ou 251. On voit tout de suite que 251, ce n'est pas possible. Et si p=2 :
1+2+4+...+2^a=2009
2^(a+1)-1=2009
2010 est une puissance de 2, ce qui est absurde. Donc ce cas 1 ne peut pas arriver.
Cas 2. n=n(1)*n(2) et S(n(1))=7 et S(n(2))=287.
Comme dans le cas 1, on écrit n(2)=p^a et on résout :
1+p+p²+...+p^a=287
p divise 286 donc p vaut 2 ou 11 ou 13. Mais on voit ensuite facilement qu'il n'y a pas de solution. Le cas 2 est impossible aussi.
Cas 3. n=n(1)*n(2) et S(n(1))=49 et S(n(2))=41.
(même raisonnement que dans les cas précédents)
On voit que 1+p+p²+...+p^a=49 n'a pas de solution, le cas 3 est impossible.
Cas 4. n=n(1)*n(2)*n(3) avec S(n(1))=7 et S(n(2))=7 et S(n(3))=41.
Mais 1+p+p²+...+p^a=41 n'a pas de solution. Le cas 4 est impossible.
Finalement, l'équation S(n)=2009 n'a pas de solution. Il n'existe pas d'entier n dont la somme des diviseurs vaut 2009. Ouf !
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Méthode plus sophistiquée.
Notons S(n) la somme des diviseurs de n, pour tout entier n>0.
Théorème (admis). La fonction S a une propriété intéressante : elle est multiplicative. Cela signifie que S(xy)=S(x)S(y) si x et y sont premiers entre eux.
On veut résoudre S(n)=2009.
Analyse : soit n une solution. Décomposons n en produit de facteurs premiers.
n=n(1)*n(2)*...*n(r) où les n(i) sont des puissances >1 de nombres premiers différents. Donc les n(i) sont premiers entre eux. D'après le théorème :
S(n)=S(n(1))*S(n(2))*...*S(n(r))
2009=S(n(1))*S(n(2))*...*S(n(r))
Comme S(n(i))>=n(i)>1, on a là une décomposition de 2009 en facteurs non triviaux. Par ailleurs, faisons la liste de toutes les décompositions non triviales (=sans facteurs 1) possibles pour 2009 :
Avec un seul facteur : 2009
Avec deux facteurs : 7*287, 49*41
Avec trois facteurs : 7*7*41
Il y a donc quatre cas :
Cas 1. n=n(1) et S(n(1))=2009.
n(1) est de la forme p^a avec p premier avec a>0. Ses diviseurs sont 1,p,p²,...,p^a. Donc :
1+p+p²+...+p^a=2009
Donc p divise 2008, donc p vaut 2 ou 251. On voit tout de suite que 251, ce n'est pas possible. Et si p=2 :
1+2+4+...+2^a=2009
2^(a+1)-1=2009
2010 est une puissance de 2, ce qui est absurde. Donc ce cas 1 ne peut pas arriver.
Cas 2. n=n(1)*n(2) et S(n(1))=7 et S(n(2))=287.
Comme dans le cas 1, on écrit n(2)=p^a et on résout :
1+p+p²+...+p^a=287
p divise 286 donc p vaut 2 ou 11 ou 13. Mais on voit ensuite facilement qu'il n'y a pas de solution. Le cas 2 est impossible aussi.
Cas 3. n=n(1)*n(2) et S(n(1))=49 et S(n(2))=41.
(même raisonnement que dans les cas précédents)
On voit que 1+p+p²+...+p^a=49 n'a pas de solution, le cas 3 est impossible.
Cas 4. n=n(1)*n(2)*n(3) avec S(n(1))=7 et S(n(2))=7 et S(n(3))=41.
Mais 1+p+p²+...+p^a=41 n'a pas de solution. Le cas 4 est impossible.
Finalement, l'équation S(n)=2009 n'a pas de solution. Il n'existe pas d'entier n dont la somme des diviseurs vaut 2009. Ouf !
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