28 février 2009

 

2009 : Suite et fin de la série et meilleurs voeux quand même ! (version 2)

En mathématiques, un nombre heureux est un nombre entier tel que, lorsqu'on ajoute les carrés de chacun de ses chiffres, puis les carrés des chiffres de la somme obtenue et ainsi de suite jusqu'à l'obtention d'un nombre à un seul chiffre, on obtienne 1 pour résultat.

À l'inverse, les nombres qui ne sont pas heureux sont appelés nombres malheureux.

Ainsi, 13 est heureux, puisque la suite associée à l'itération décrite est :

1^2+3^2 = 10
1^2 + 0^2 = 1

19 aussi :

1^2+9^2=82
8^2+2^2=68
6^2+8^2=100
1^2+0^2+0^2 = 1

Avec 2008:

2^2 +8^2=68
6^2+8^2=100
1^2+0^2+0^2 = 1

L'année 2008 fut heureuse, c'est vrai!

Avec 2009:

2^2+9^2=85
8^2+5^2=89
8^2+9^2=145
1^2+4^2+5^2=42
4^2+2^2=20
2^2+0^2 = 4

Mince !


















Ouais,mais on aurait pu obtenir pire : 5 ou 9 ...

Zut ! 5 , c'est pour l'année prochaine !
Et 9 c'est pour bientôt aussi !

Pour la prochaine année heureuse, il va falloir attendre un peu.

Il est vrai que les nombres heureux sont largement moins représentés que les nombres malheureux et ils ne sont pas répartis régulièrement : on en compte 19 inférieurs à 100, 100 inférieurs à 701, 142 inférieurs à 1000 .
Pour une étude plus poussée de la distribution des fréquences,on verra plus tard!
(A moins que PB,qui programme comme un chef...)

Bonne année tout de même!

PS
1)Je prie mon fils aîné de bien vouloir m'excuser,d'avoir,sans son autorisation,"mongolisé" une de ses photos
2)La version 1 du précédent message comportait une petite contradiction .





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Comments:
Merci :-)
Je ne connaissais pas les nombres heureux mais je me pose une question : pourquoi, arrivé à 4, on ne continue pas ? On pourrait écrire 4 --> 16 --> 37 --> ... ?
 
Ok, j'ai fait des expériences : on dirait qu'on fini soit sur 1, et ensuite ça reste à 1, soit sur 4, et ensuite ça "boucle" en revenant périodiquement à 4.

Et en effet, on dirait que tomber sur 1 est assez rare...
 
(Avant hier,je ne les connaissais pas non plus )

C'est la règle : On s'arrête dès que l'on obtient un nombre à un chiffre
(c.a.d inférieur ou égal à 9)
 
Voici un peu de code en PARI/GP (lien pour l'installer sous Windows) :

1) Fonction unite qui calcule le chiffre des unité d'un entier n :

unite(n)=n%10

Exemple : unite(124)=4

2) Fonction dizaine qui calcule le quotient de la division euclidienne de n par 10 (attention, ce n'est pas le chiffre des dizaines) :

dizaine(n)=(n-unite(n))/10

Exemple : dizaine(124)=12

3) Fonction somme qui prend en entrée un entier naturel n et qui renvoie en sortie la somme des carrés des chiffres de n :

somme(n)=if(n==0,0,unite(n)^2+somme(dizaine(n)))

Exemple : somme(16)=37

4) Fonction heureux qui prend en entrée un entier n>0 et qui renvoie 0 ou 1 selon que n est heureux ou pas :

heureux(n)=if(n==1,1,if(n==4,0,heureux(somme(n))))

Exemple : heureux(11234)=1 (c'est un nombre heureux)

5) Fonction liste qui affiche tous les nombres heureux jusqu'à un entier n donné :

liste(n)=for(i=1,n,if(heureux(i),print(i)))

Exemple : liste(30)
1
7
10
13
19
23
28

NOTE : je me rends compte que je n'ai pas la même définition de heureux, puisque j'ai considéré que 7 est un nombre heureux (7->49->97->130->10->1).
Il faudrait que je modifie un peu les fonctions pour m'adapter à la bonne définition...

6) Fonction stat qui calcule le pourcentage de nombres heureux inférieurs à un entier n donné :

stat(n)= c=0;for(i=1,n,if(heureux(i),c=c+1));print(100.*c/n,"%");

Exemples :
(ATTENTION : ma définition de heureux est un peu différente (voir plus haut) donc le stats sont différents)
stat(10)=30%
stat(100)=20%
stat(1000)=14.3%
stat(10000)=14.42%
stat(100000)=14.377%

On aurait une limite ? Quelle est cette limite ? :-)
 
1)Votre définition est la bonne selon Mathworld (selon wikipédia,on s'arrête dès la première somme à un seul chiffre)
2) Merci pour les statistiques
3)La limite qui m'intéresse le plus ,c'est le nombre d'années heureuses qu'il me reste ; et avec cette définition ,je crains qu'il soit très faible:
2019 en est une.
2026 aussi.
2030 aussi;
2036 aussi
2039 aussi
2049 également.
En étant optimiste,ça peut faire six années; pas si mal!
 
Nombre de nombres heureux inférieurs ou égaux à 10^n , pour n allant de 1 à 20 :

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294

Pour l'existence d'une "limite heureuse", ce n'est pas convaincant ( mais gardons nous bien de conclure)

Conclusion hâtive à ne pas énoncer :
Le bonheur n'admettrait pas de limite! :-)
 
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