26 mars 2009
Année complexe .
Combien de couples de réels (a,b) sont solutions de l'équation :
(a +b*i )^2007 = a-b*i
(Où i est le nombre imaginaire bien connu dont le carré vaut -1)
Libellés : Enigme
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Bonjour Guy !
On est de retour en 2007 ?
Si on pose z = a+b*i, l'équation s'écrit :
z^2007 = z'
où je note z' le conjugué de z.
Si on prend le module, on obtient :
|z|^2007 = |z|
Comme |z| est un réel positif, on en déduit que |z| = 0 ou 1.
On vérifie que z=0 est bien solution du problème, puis on peut supposer |z| = 1.
Mais dans ce cas, le conjugué de z est égal à l'inverse de z. Donc l'équation devient :
z^2008 = 1
Equation bien connue qui a 2008 solutions (bien connues aussi).
Au total, on est de retour en 2009 :D
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On est de retour en 2007 ?
Si on pose z = a+b*i, l'équation s'écrit :
z^2007 = z'
où je note z' le conjugué de z.
Si on prend le module, on obtient :
|z|^2007 = |z|
Comme |z| est un réel positif, on en déduit que |z| = 0 ou 1.
On vérifie que z=0 est bien solution du problème, puis on peut supposer |z| = 1.
Mais dans ce cas, le conjugué de z est égal à l'inverse de z. Donc l'équation devient :
z^2008 = 1
Equation bien connue qui a 2008 solutions (bien connues aussi).
Au total, on est de retour en 2009 :D
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: 9:23 AM
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