21 mars 2009
Insolite éponge de Menger.
Un passionné d'origami s'est lancé le défi de réaliser d'ici septembre un cube géant composé de 8.000 petits cubes, uniquement à partir de 66.048 tickets de bus et tram.
"C'est de l'origami modulaire", explique Michel Lucas, ancien professeur de l'Ecole des Mines de Nantes.
C'est dans l'entrée de cette école qu'il réalise son oeuvre qui pèsera à terme quelque 60 kg pour 90 cm de côté.
La figure qu'il s'attache à concevoir est une "éponge de Menger",objet fractal,extension en trois dimensions de l'ensemble de Cantor et du tapis de Sierpinski .
Aujourd'hui un tiers du cube géant commencé en novembre est déjà réalisé.
Quel est le volume de l'éponge de Menger, solide obtenu après un nombre d'itérations tendant vers l'infini ?
PS :
1)Pour les mauvaises langues,ce professeur n'est plus en activité.
2) Lundi, on reparlera origami
2) Lundi, on reparlera origami
Libellés : Enigme, Infos et actualités, Récréation
Comments:
Links to this post:
<< Home
Question amusante : quel est le volume de l'éponge (en supposant que le grand cube est de côté 1, je ne mets pas d'unité, on n'est pas en physique ;) ?
Solution en 2 lignes !
Solution en 2 lignes !
Quelques précisions pour alimenter la chaîne des commentaires :
La construction d'une éponge de Menger peut être décrite de la manière suivante :
1. débuter par un cube,
2. réduire le cube au tiers et en faire 20 copies,
3. placer ces copies de telle façon qu'elles forment un nouveau cube de la même taille que l'original, sans les parties centrales,
4. répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes ainsi créés.
Le solide obtenu à la limite, après un nombre infini d'itérations, est l'éponge de Menger.
À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20^n cubes.
La construction d'une éponge de Menger peut être décrite de la manière suivante :
1. débuter par un cube,
2. réduire le cube au tiers et en faire 20 copies,
3. placer ces copies de telle façon qu'elles forment un nouveau cube de la même taille que l'original, sans les parties centrales,
4. répéter le processus à partir de l'étape 2 pour chacun des 20 cubes ainsi créés.
Le solide obtenu à la limite, après un nombre infini d'itérations, est l'éponge de Menger.
À chaque itération, on multiplie le nombre de cubes par 20, ce qui fait que le solide créé à l'itération n contient 20^n cubes.
Par récurrence, puisqu'on enlève 7/27e (les six cube des centres des faces et le cube central) du volume à chaque étape, et si on note V(n) le volume à l'étape n on a donc V(n+1)=20/27xV(n) soit V(n)=(20/27)^n (puisque V(0)=1) et comme 20/27<1 alors
le volume tend vers 0.
le volume tend vers 0.
# posted by 
: 4:16 PM
: 4:16 PM
Solution pour le volume :
Notons V le volume cherché et considérons un des 20 petits cubes qui constitue le grand. Notons v le volume du petit cube.
On a V=20v puisque le grand cube est l'union de 20 petits cubes isométriques, et on a V=27v par homothétie (si un solide est "trois" fois plus grand qu'un autre solide, alors il est 27 fois plus volumineux).
De V=20v et V=27v, on tire facilement V=v=0.
Bien joué Fireblade. Le volume est nul (mais la surface latérale est infinie...).
Enregistrer un commentaire
Notons V le volume cherché et considérons un des 20 petits cubes qui constitue le grand. Notons v le volume du petit cube.
On a V=20v puisque le grand cube est l'union de 20 petits cubes isométriques, et on a V=27v par homothétie (si un solide est "trois" fois plus grand qu'un autre solide, alors il est 27 fois plus volumineux).
De V=20v et V=27v, on tire facilement V=v=0.
Bien joué Fireblade. Le volume est nul (mais la surface latérale est infinie...).
# posted by : 3:37 PM
: 3:37 PM Links to this post:
<< Home
