Le Blog mathématique d'ABC Maths

a^2-b^2+c^2 vaut 1
 

Pouvez vous justifier votre résultat s.v.p.
 

Bonsoir,

Alors pour avoir un peu plus de détail, voici ma façon de procéder:

première ligne => a=4+7b-8c
deuxième ligne => c=8a+4b-7

On substitue a dans la deuxième ligne ce qui donne pour celle-ci:

c=8*(4+7b-8c)+4b-7=32+56b-64c+4b-7

J'ajoute 64c de chaque côté de l'égalité ce qui donne après avoir réduit:

65*c=25+60b

Je multiplie de chaque côté par (1/5) dans cette égalité ce qui nous amène à:

13*c=5+12b

Conclusion, la deuxième ligne est devenue: c=5/13+(12/13)b

Je substitue c dans la première ligne de notre système ce qui nous donne:

a=4+7b-8*[5/13+(12/13)b]

Donc après développement et réduction, nous avons pour première ligne:

a=12/13-(5/13)b

Nous avons donc pour système:

a=12/13-(5/13)b
c=5/13+(12/13)b

Nous effectuons maintenant le calcul demandé:

a²-b²+c²
=[12/13-(5/13)b]²-b²+[5/13+(12/13)b]²

Je multiplie toute légalité par 169 pour simplifier les calculs ce qui nous donne:

169(a²-b²+c²)=(12-5b)²-169b²+(5+12b)²

Or (12-5b)²=144-120b+25b²
et (5+12b)²=25+120b+144b²

Donc (après réduction):

169(a²-b²+c²)=169

Conclusion, a²-b²+c²=1


Je pense que cette exercice peut être effectué par des élèves de troisième sous forme de devoir maison avec peut-être une question intermédiaire, genre: exprimer a et c en fonction de b. Mais à la rigueur, la question intermédiaire peut être enlevé pour laisser chercher à leur guise la piste qui leur plaît pour résoudre cette exercice.

Cordialement,
 

D'ailleurs sur le système j'ai travaillé par implication mais je laisse le soin de faire la vérification pour avoir l'équivalence si on veut vraiment être rigoureux sur la preuve.

J'aurai pu travailler par équivalence sur le système mais dans les commentaires cela n'aurait pas été très clair, je pense.
 

Voici une solution géométrique. Le système décrit une droite D dont on trouve (par exemple par produit vectoriel) un vecteur directeur : (-5,13,12). Le gradient de la fonction f : (a,b,c) --> a²-b²+c² a pour direction (a,-b,c). Le produit scalaire de ces deux vecteurs est -5a-13b+12c ; or ce nombre est nul lorsque (a,b,c) est un point de la droite D (pour le voir il suffit de multiplier la première équation du système par 7 et la deuxième par -4, puis prendre la somme).
En autres mots la fonction f est constante sur la droite D. Pour connaître cette constante il suffit alors de remplacer un point de D , par exemple (0,12/5,13/5). On obtient 1.
 

Merci à Mathoman ; une preuve de plus que la géométrie est partout et ils veulent la jeter !
Si ce n'est pas déjà fait ,signez ici

http://irem.univ-lille1.fr/PetitionGeometrie/index.php?petition=2

Merci