18 juin 2009

 

Arithmétique .

Déterminer tous les entiers naturels n tels que n/(20-n) soit le carré d'un entier naturel .

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Soit un entier naturel p,
soit un entier naturel n différent de 20 tel que:

n/(20-n) =p²

Donc n(1+p²)=20*p²

Donc n est bien un entier si 1+p²|20p²

Or PGCD(1+p²,p²)=1

Donc d'après le théorème de Gauss, 1+p²|20

Les diviseurs de 20 sont 1,2,4,10 et 20.

*Si 1+p²=1 alors p=0 et donc n=0 convient

*Si 1+p²=2 alors p=1 et donc n=10 convient

*Si 1+p²=4 alors p²=3 absurde car p est un entier naturel

*Si 1+p²=5 alors p=2 et n=16 convient

*Si 1+p²=10 alors p=3 et n=18 convient

*Si 1+p²=20 alors p²=19 absurde car p est un entier naturel.

La solution au problème posé est l'ensemble: {0;10;16;18}

Normalement je n'ai oublié personne dans mon raisonnement (tout du moins je l'espère).

Bonne continuation!
 
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