18 juin 2009
Arithmétique .
Déterminer tous les entiers naturels n tels que n/(20-n) soit le carré d'un entier naturel .
Libellés : Enigme, Messages aux classes de G.Marion
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Soit un entier naturel p,
soit un entier naturel n différent de 20 tel que:
n/(20-n) =p²
Donc n(1+p²)=20*p²
Donc n est bien un entier si 1+p²|20p²
Or PGCD(1+p²,p²)=1
Donc d'après le théorème de Gauss, 1+p²|20
Les diviseurs de 20 sont 1,2,4,10 et 20.
*Si 1+p²=1 alors p=0 et donc n=0 convient
*Si 1+p²=2 alors p=1 et donc n=10 convient
*Si 1+p²=4 alors p²=3 absurde car p est un entier naturel
*Si 1+p²=5 alors p=2 et n=16 convient
*Si 1+p²=10 alors p=3 et n=18 convient
*Si 1+p²=20 alors p²=19 absurde car p est un entier naturel.
La solution au problème posé est l'ensemble: {0;10;16;18}
Normalement je n'ai oublié personne dans mon raisonnement (tout du moins je l'espère).
Bonne continuation!
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soit un entier naturel n différent de 20 tel que:
n/(20-n) =p²
Donc n(1+p²)=20*p²
Donc n est bien un entier si 1+p²|20p²
Or PGCD(1+p²,p²)=1
Donc d'après le théorème de Gauss, 1+p²|20
Les diviseurs de 20 sont 1,2,4,10 et 20.
*Si 1+p²=1 alors p=0 et donc n=0 convient
*Si 1+p²=2 alors p=1 et donc n=10 convient
*Si 1+p²=4 alors p²=3 absurde car p est un entier naturel
*Si 1+p²=5 alors p=2 et n=16 convient
*Si 1+p²=10 alors p=3 et n=18 convient
*Si 1+p²=20 alors p²=19 absurde car p est un entier naturel.
La solution au problème posé est l'ensemble: {0;10;16;18}
Normalement je n'ai oublié personne dans mon raisonnement (tout du moins je l'espère).
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