05 mars 2010

 

Gustave Eiffel.


" La tour Eiffel est inutile, sans doute,
donc nécessaire".

Eiffel .


Rappelons que les calculs que l'ingénieur Gustave Eiffel entreprit pour réaliser un édifice offrant une résistance maximale aux vents, aboutirent à des profils de type exponentiel.
(Avec de telles courbes,quelle que soit l'altitude h, la pression exercée par la masse de la partie de la tour située au dessus du plan horizontal de cote h, est la même)

La tour Eiffel est un édifice FONDAMENTALEMENT mathématique !

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Pression = Force/Surface

La force est ici le poids :
F = (masse volumique)*volume*g

En considérant la Tour comme un solide de révolution de hauteur a et de demi-épaisseur f(h) :

volume = ∫(h,a) π*f(x)²dx

surface = π*f(h)²

d'où, en notant P la pression et ρ la masse volumique :

P*π*f(h)² = ρ*∫(h,a)π*f(x)²dx

d'où, en dérivant par rapport à h :

2P*f(h)*f'(h) = -ρ*f(h)²

et donc f'(h) = -(ρ/2P)*f(h)

Comme le problème impose P constante, l'équation différentielle obtenue a pour solution l'exponentielle caractéristique de notre magnifique Tour Eiffel. Merci Gustave !
 
Correction :

P*π*f(h)² = ρ*g*∫(h,a)π*f(x)²dx

d'où, en dérivant par rapport à h :

2P*f(h)*f'(h) = -ρ*g*f(h)²

et donc f'(h) = -(ρg/2P)*f(h).
 
Merci à beachboy68 pour son éminente démonstration.
 
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