08 octobre 2008

 

Préparation à l’Olympiade de Première

On écrit sur un tableau les nombres 1, 2, . . . , n. On fait l’opération suivante :
on choisit deux nombres du tableau, on les efface et on écrit sur le tableau leur différence
(le plus grand moins le plus petit). On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul
nombre sur le tableau. On se demande si ce nombre peut être 2.
(a) Démontrer que c’est possible si n = 8.
(b) Démontrer que c’est impossible si n = 9.
(c) Que peut-on dire si n = 100 ? Et si n = 2006 ?

Ci-dessous les sujets nationaux de 2008 et leurs corrigés
Olympiades_mathematiques-premiere_28468.pdf

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Comments:
Réduisons le problème modulo 2 : on voit que la somme de tous les nombres affichés est constante modulo 2.

(ou sans réduire modulo 2 : on voit que la parité de la somme de tous les nombres affichés est constante).

Pour qu'il reste 2 à la fin, il faut donc que la somme initiale soit paire. D'où (b).
 
Intéressant ces Olympiades. Dommage que votre classe de première n'aie pas entièrement le niveau ! Enfin le premier exercice n'était pas si compliqué que ça... Quand on a les réponses !
 
"Dommage que votre classe de première n'ait pas entièrement le niveau"
Qui a dit cela ?
 
Si vous pensez sincèrement qu'on en est capable alors moi je veux bien vous croire.
 
http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/maths/olympiad.htm
Un lien avec des annales corrigées
( de 2001 à 2008)
 
On peut repenser le problème en se disant qu'on écrit tous les nombres de 1 à n dans un certain ordre, qu'on met des signes - entre eux et qu'on rajoute des parenthèses (en veillant à avoir à chaque étape des nombres positifs).

Si on remplace a-b par a+b on change le résultat par 2b. Autrement dit, changer un signe - par un signe + ne change pas la parité du résultat.

Pour n=1 et n=2 c'est donc impossible d'obtenir 2 comme résultat final puisque 1 est impair et 1+2=3 aussi.
Pour n=3, on a 3-(2-1)=2.
Pour n=4, on a 4-(3-(2-1))=2.

Bilan :
impossible pour 1 et 2;
possible pour 3 et 4.

Si l'on ajoute 4 unités à n, on ajoute : n+1, n+2, n+3, n+4 à la somme des nombres écrits au tableau, soit 4n+10, c'est-à-dire un nombre pair.

Donc pour 5=1+4, la somme 1+2+3+4+5 est impaire et c'est impossible d'obtenir 2 comme résultat. Idem pour 6=2+4 et encore pour 9=5+4 ... et d'une façon générale pour les nombres de la forme 4*k+1 et 4*k+2, pour k entier.

Comme 9=4*2+1 et 2006=4*501+2, c'est impossible pour n=9 et n=2006.

Par ailleurs : (n+4)-(n+3)=1 et (n+2)-(n+1)=1 et 1-1=0. Donc si on peut obtenir un nombre avec les nombres de 1 à n, on le peut aussi avec les nombres de 1 à n+4 : il suffit de commencer par rayer les 4 nombres que l'on vient de rajouter.

Comme on peut obtenir 2 pour n=3 et n=4, on le peut aussi avec les nombres de la forme 4*k+3 et 4*k+4, pour k entier.
La réponse est donc positive pour n=8=4*1+4 et n=100=4*24+4.

Quel est l'ensemble des nombres que l'on peut effectivement obtenir avec les nombres de 1 à n ?
Et si on s'affranchit de calculer dans les entiers naturels pour autoriser les entiers relatifs ?
 
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